Andi Yulinar Ainun Riandika

1. PENGERTIAN RELASI . Relasi adalah Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen - elemen di A dengan elemen-elemen di B . Relasi dapat didefenisikan Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. 2. PENGERTIAN FUNGSI . Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut. Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain. , atau 3. CIRI-CIRI RELASI MERUPAKAN FUNGSI . Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi : 1. Pada diagram panah : Semua anggota A mempunyai pasangan, dan tidak ada cabang relasi dari himpunan A. Contoh pemetaan/fungsi : Contoh bukan pemetaan/fungsi : 2. Pada Himpunan pasangan berurutan : Terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari satu kali. Contoh pemetaan/fungsi : {(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)} Contoh bukan pemetaan/fungsi : {(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)} 3. Pada diagram kartesius : tidak ada dua titik segaris vertical. Contoh pemetaan/fungsi : Contoh bukan pemetaan/fungsi : Notasi Pemetaan/Fungsi. Sebuah relasi dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {2,3,4,5,6} dengan aturan “setengah dari” digambarkan dalam diagram panah : Dari diagram panah di atas terdapat beberapa istilah yaitu : • {1,2,3,x } disebut Domain/Daerah asal • {2,3,4,5,6,2x } disebut Kodomain / Daerah kawan • {2,4,6,2x } disebut Range/daerah hasil Setiap x anggota himpunan A dipasangkan/dipetakan dengan 2x anggota B, jika nama pemetaan/fungsi dari A ke B tersebut adalah f, maka notasi pemetaan/fungsi tersebut adalah “f : x  2x “ dibaca “ f memetakan x ke 2x”. 2x disebut bayangan/peta dari x oleh fungsi f. Bayangan x oleh f dinyatakan dengan f(x), karena bayangan x oleh f adalah 2x maka f(x) = 2x. f(x) = 2x disebut rumus fungsi f. Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A dan n(B) adalah banyaknya anggota himpunan B maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah n(B)n(A) . 4. CONTOH PENERAPAN FUNGSI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI. Fungsi Matematika di Kehidupan Sehari-hari Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar/siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat Persamaan garis? Apa manfaat trigonometri?". Pertanyaan-pertanyaan seperti itu sudah sering kita lontarkan kepada guru-guru pembimbing kita. Pertanyaan itu kita lontarkan karena kita sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun. Dalam blog ini kami akan mengulas apa manfaat dari matematika yang kalian kira tidak diperlukan itu. 1. Manfaat Similarity Mungkin kalian berpikir similar itu tidak penting, Ups kalian salah... similarity itu sangatlah penting bagi kita. Manfaat similar adalah • Ada seorang siswa dari SMP XXX misalnya, ia merasa bahwa SMP-nya itu paling bagus dan pintar di kabupatennya. Tetapi kenyataannya SMP kalianlah yang nomor 1. Ia tidak terima dan langsung pergi ke SMP kalian, menantang salah satu siswa, misalnya kamu yang ditantang. Ia memberi pertanyaan begini. "Kalau kalian pintar, seharusnya kalian bisa mengukur tinggi dari pohon cemara ini." Jika kalian orang yang "maaf" bodoh, atau tidak peduli bahwa ketidak tahuan kalian karena kebodohan kalian dapat mempermalukan sekolah kalian, kalian pasti akan menjawab, "Emang gua pikirin, ngapain lu tanya tinggi pohon tuh, ape manfaatnye!" Tetapi kalau kalian orang yang peduli bahwa kebodohan kalian akan mengancam nama baik SMP kalian, tetapi kalian itu kurang tahu (tidak tahu cara mengerjakannya) kalian pasti akan bilang begini, "Emmm... Gimana, ya caranya. Emang Bisa to ngukur tinggi pohon itu". Tetapi kalau kalian pintar, kalian tentu dapat menjawabnya. Caranya: Ambillah sebuah meteran dan sebatang tongkat. Ukur bayangan pohon, dan setelah diukur panjang bayangan pohon 2m. Ukur panjang tongkat, kemudian tegakkan tongkat tersebut. Lalu ukur bayangan tongkat. Dan kalian mengetahui bahwa panjang tongkat 60 cm dan panjang bayangannya 40 cm. lalu kalian bisa membuat perbandingan, 60 cm/40 cm = x/2m. Setelah itu kalian mengetahui bahwa tinggi pohon tersebut adalah 3m. Dengan matemantika dan sistem similar, mudah kan??? Ukur panjang bayangan... Ukuran panjang bayangan pohon dengan tongkat 2. Manfaat Aljabar Mungkin para guru sudah stress jika ada murid yang menanyakan "Apa sih fungsi Aljabar dalam kehidupan kita sehari-hari?". Mereka tidak tahu betapa pentingnya aljabar itu. Padahal Aljabar adalah dasar dari segala ilmu matematika. Mungkin di SD kelas 1 atau 2 kita akan diberi soal begini, 1 + Berapa? = 2, bukankah itu sama saja dengan 1 + x = 2, berapa nilai x? Setelah kita hitung maka akan ketemu jawabannya, yaitu 2. Nah, mnegenai manfaatnya, kita akan ulas dibawah: • Manfaat Aljabar bagi siswa-siswi (versi 1). Tentu saja, manfaat Aljabar bagi para pelajar adalah supaya nilai ulangan matematika kita tidak njeblok saat diberi soal Aljabar. Dan untuk tambahan nilai untuk nilai kelulusan nanti. • Manfaat bagi Ibu Rumah Tangga. Manfaat Aljabar bagi Ibu Rumah Tangga adalah untuk memanajemen uang gaji, uang saku anak, uang sekolah anak, dll. Contoh memanajemen uang bla bla bla bagi Ibu Rumah Tangga: Seorang Ibu setiap bulan mendapat gaji sebesar Rp 1.500.000,00. Ia diberi uang tambahan dari suaminya sebesar Rp 500.000,00 per bulan. Dibutuhkan Rp 200.000,00 untuk uang belanja per bulan. Uang sekolah total dari ke-2 anaknya sebesar Rp 1.000.000,00. Sang Ibu bingung, berapa uang saku perorangan yang harus ia berikan untuk kedua anaknya per minggu tetapi uang per bulannya masih tersisa Rp 200.000,00 untuk ditabung. Jika Ibu itu pintar Aljabar, maka Ibu itu dapat menentukan uang saku tersebut secara tepat, kalau tidak???? Cara mengerjakan menggunakan Aljabar: Kita anggap uang saku setiap anak per minggu sebagai x (1.500.000 + 500.000) - 200.000 = 1.000.000 + 200.000 + (4 X 2x) 2.000.000 - 200.000 = 1.200.000 + (8x) 1.800.000 = 1.200.000 + 8x 1.800.000 - 1.200.000 = 8x 600.000 = 8x x = 600.000/8 , x = 75.000 {Mengapa (4 X 2x) karena 1 bulan = 4 minggu dan 2x itu adalah uang saku 2 orang anak}. Jadi, uang saku setiap anak dalam waktu seminggu adalah Rp 75.000,00. Dengan matematika dan sistem aljabar, mudah kan??? • Bagi para pedagang. Aljabar dapat membantu pedagang untuk menghitung besar kecil keuntungan atau kerugian yang dapat diperolehnya, dan dapat menentukan besar modal yang harus dipakainya. Contoh penerapan Aljabar dalam kehidupan pedagang: Seorang pedagang bakso membeli 10 kg daging sapi dengan harga Rp 20.000,00. Dengan 10 kg daging sapi tersebut dapat dibuat menjadi 20 mangkuk bakso. Pedagang itu ingin laba per mangkuk dari bakso tersebut sebesar Rp 2.000,00. Lalu berapa harga jualnya??! Kalau pedagang itu pintar matematika, pasti akan mudah mengetahuinya, tapi kalau nggak??? Cara mengerjakan menggunakan sistem aljabar: Kita anggap harga jual bakso itu sebagai x. Maka, x = (20.000/20) + 2.000 x = 1.000 + 2.000 x = 3.000 Jadi, harga jual yang bisa diterapkan agar laba satu mangkuk bakso 2.000 rupiah adalah sebesar Rp 3.000,00. Dengan matematika dan sistem Aljabar, mudah kan?? • Untuk siswa-siswi (versi 2: khususnya siswa-siswi SMP 1 Kudus). Manfaat Aljabar adalah untuk memanajemen uang saku yang diberikan orang tua kita per minggu. Contoh penerapan aljabar dalam kehidupan siswa-siswi SMP 1 Kudus: Semisal uang saku kita sebesar Rp 50.000,00 setiap minggu. Karena setiap hari Selasa dan Jum'at kita ada les pada pukul 14.20 WIB sedangkan setelah pulang sekolah kita tidak pulang dulu (terusan sampa les) maka kita membutuhkan uang makan + uang jajan sebesar Rp 9.000,00. Nah, kita kebingungan menentukan uang saku setiap hari selain Selasa dan Jum'at selama dua minggu jika dalam dua minggu itu kita ingin menabung uang sebesar Rp 50.000,00. Dengan bantuan aljabar kita dapat menentukan uang saku kita per hari. Cara mengerjakan menggunakan Aljabar: Kita anggap uang saku kita per hari (selain Selasa dan Jum'at karena sudah ada jatahnya, yaitu 9.000,00) dengan x. Maka, 100.000 = (uang saku 2 minggu) 50.000 = (uang tabungan selama 2 minggu) 100.000 - 50.000 = (4 X 9.000) + 2(6x -2x) 50.000 = 36.000 + 2(4x) 50.000 = 36.000 + 8x 50.000 - 36.000 = 8x 14.000 = 8x x = 14.000/8 x = 1.750 {Mengapa (4 X 9.000)? 4 berasal dari Hari Selasa dan Jum'at dalam dua Minggu. Berarti kan ada 4 hari.} {Mengapa 2(6x - 2x)? 2 berasal dari 2 minggu sedangkan 6x - 2x berasal dari 6 hari dalam satu Minggu kecuali Minggu karena libur, dikurangi 2 hari (selasa dan Jum'at karena telah dijatah)}\ Jadi, uang saku per hari yang kita gunakan selain Selasa dan Jum'at (sekali lagi karena telah dijatah) dan selain Minggu (karena libur) maksimal sebesar Rp 1.750,00. Tidak boleh lebih tetapi boleh kurang (hehe, sebagai tambahan tabungan). Boleh lebih tetapi harus konsekuen, yaitu mengurangi jatah sangu di hari berikutnya. 3. Manfaat Persamaan Garis Mungkin memang tidak ada alasan spesifik tentang manfaat persamaan garis dari sumbu x dan sumbu y, tetapi untuk beberapa profesi persamaan garis sangatlah penting. berikut ini contoh manfaat persamaan garis beserta profesinya • Progammer Untuk menjadi seorang progammer yang handal, mereka juga membutuhkan pelajaran dasar matematika tentang persamaan garis. bagi progammer, persamaan garis itu sangatlah penting. Contoh aplikasi yang membutuhkan persamaan garis untuk progammer adalah turbo pascal. Turbo Pascal, salah satu aplikasi yang menerapkan sistem persamaaan garis Contoh penerapannya di kehidupan sehari-hari: Kalian pasti pernah memasuki bank, RS, atau stasiun pemberhentian kendaraan bukan? Nah disana terdapat sebuah mesin pengambil antrian atau nomor pelanggan yang setiap kali ditekan tombol kendalinya maka akan keluar secarik kertas bertuliskan nomor antrian tersebut. Nah program yang digunakan untuk menjalankan mesin tersebut menggunakan persamaan garis dan bisa diprogram menggunakan turbo pascal. Contoh dari mesin antrian. • Game Maker (Pembuat game) Perlu kita ketahui bahwa game-game yang sering kita mainkan itu (maksud saya game-game berkelas yang biasanya berkapasitas lebih dari 100 Mb) membutuhkan proses pembuatan yang cukup lama, kejelian yang tinggi, kreativitas yang oke, dan penerapan ilmu matematika "persamaan garis". Salah satu aplikasi pembuat game yang erkenal adalah GAME MAKER. Patut kita ketahui, persamaan garis disini dibutuhkan untuk penempatan letak karakter, penempatan obyek-obyek tertentu yang berada di game tersebut. Penerapan persamaan garis didalam aplikasi game maker Sims 2, salah satu game yang dibuat menggunakan aplikasi game maker, dengan penerapan persamaan garis 5. CONTOH MENENTUKAN DAERAH ASAL(DOMAIN) DAERAH KAWAN(KODOMAIN) ATAU DAERAH HASIL(RANGE). Domain, Kodomain, dan Range . a. Domain adalah daerah kawan b. Kodomain adalah daerah kawan c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian dari kodomain. Himpunan A = {1,2,3,4,5,6,7} adalah domain Himpunan B = {1,2,3,4,5,6,7,8} disebut kodomain Himpunan semua peta = {2,3,4,5,6,7} disebut range. 6. Mengidentifikasi jenis-jenis dan sifat-sifat fungsi. JENIS - JENIS FUNGSI : Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif SIFAT – SIFAT FUNGSI A. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Contoh dalam diagram panah A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} Fungsi f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada. Fungsi f : A  B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf  B. Contoh : A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} fs f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf  B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. B. Fungsi Injektif Fungsi f : a  B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2  A dan a1  a2 berlaku f (a1)  f (a2). Contoh : A : {1,2,3} , B : {a,b,c} f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu. C. Fungsi Bijektif Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh : A : {1,2,3} , B : {a,b,c} fs f : A  B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. --------------------SEKIAN---------------------